| Меню сайта |
|
 |
| Ученикам |
|
|
| Учителю |
|
|
| Категории раздела |
|
|
| Наш опрос |
|
|
|
|
 | перевод |  |
Представление о системах счисления.
Система
счисления(далее СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел
цифровыми знаками.
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи
чисел используются цифры 0,1,:,9. Способов записи чисел цифровыми знаками
существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического
применения СС должна обеспечивать:
- возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
- единственность представления (каждой комбинации символов должна
соответствовать одна и только одна величина);
- простоту оперирования числами;
В зависимости от способов
изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и
позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой
количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в
изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой
счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры
зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков
или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы
счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед
непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а
также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются
позиционные системы счисления.
По этому принципу построены непозиционные СС.
В общем же
случае системы счисления:
A(B)=a1B1+a2B2
+...+anBn. Если положить, что
Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС.
При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.
На практике также
используют другие СС:
| q |
Название |
Цифры |
| 2 |
двоичная |
0,1 |
| 3 |
троичная |
0,1,2 |
| 8 |
восьмеричная |
0,...,7 |
| 16 |
шестнадцатиричная |
0,...,9,A, ...,F |
Каждая СС имеет свои
правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо
операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
Если
основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают
прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствуею знак
'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0
до 15 и их эквивалент в различных СС:
| q=10 |
q=2 |
q=16 |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
| 2 |
10 |
2 |
| 3 |
11 |
3 |
| 4 |
100 |
4 |
| 5 |
101 |
5 |
| 6 |
110 |
6 |
| 7 |
111 |
7 |
| 8 |
1000 |
8 |
| 9 |
1001 |
9 |
| 10 |
1010 |
A |
| 11 |
1011 |
B |
| 12 |
1100 |
C |
| 13 |
1101 |
D |
| 14 |
1110 |
E |
| 15 |
1111 |
F |
В позиционной СС число можно
представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно
q:
A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn
(1)
Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в
q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой
Горнера. Она получается поочередным выносом q за
скобки:
A=(...((an*q+an-1)*q+an-2)*q+...)*q+a1
результат
вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой
будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены
операции.
|
|
|
