В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

 

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).



Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. В привычной вам десятичной системе счисления Р=10 и для записи любого числа используется 10 цифр:      0,1,2,3,4,5,6,7,8,9       

В девятичной системе счисления цифры:         0,1,2,3,4,5,6,7,8

В восьмеричной системе счисления цифры:    0,1,2,3,4,5,6,7

В семяричной системе счисления цифры:        0,1,2,3,4,5,6

В шестеричной системе счисления цифры:      0,1,2,3,4,5

В петяричной системе счисления цифры:         0,1,2,3,4

В четверичной системе счисления цифры:        0,1,2,3

В троичной системе счисления цифры:             0,1,2

В двоичной системе счисления цифры:             0,1

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.




Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.



За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

·               двоичная (используются цифры 0, 1);

·             восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

·              шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). 

В ЭВМ используются только позиционные системы счисления, когда все числа зависят от позиции цифры в числе. Число увеличивается справа налево. Двоичная с.с. является основной, т.к. 0 и 1 –2 устойчивых состояния, кот. Легко отразить на схеме.

 Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 

 

тест 1

тест 2